hajsik haslo kalendarz book1 book2 paper pin graphs headphones swinka torba zegarek zegarek2certyfikaty biznesman certyfikat email fb plus arrow-light-top arrow-light-bot arrow-light-left arrow-light-right arrow-long-top arrow-long-bot arrow-long-left arrow-long-right close
Wybierz rodzaj kursu
Aby poznać szczegółową ofertę wybierz rodzaj kursu!

Trudności na maturze

2017-06-20

Poradnik maturalny

Bez wątpienia do najtrudniejszych zadań, nie tylko na maturze, uczniowie zaliczają te, w których należy coś udowodnić. Nic dziwnego, trzeba bowiem nie tylko dostrzec związki między danymi elementami, lecz także pokazać tok rozumowania.


Na rozszerzonej maturze w 2016 roku znalazły się trzy takie zadania. Przyjrzyjmy się każdemu z nich.

 

Zadanie 8

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y, takich, że 11. prawdziwa jest nierówność 12

W warunkach stresu egzaminacyjnego można się pogubić. Trudno od razu wpaść na poprawne rozwiązanie, tym bardziej, że w równaniu zmienne występują w kwadracie, a w nierówności – w pierwszej potędze. Ale łatwo przypomnieć sobie, że równanie 11 opisuje okrąg o środku w początku układu współrzędnych i promieniu równym 14a nierówność 12 opisuje półpłaszczyznę. Żeby zorientować się jaka to półpłaszczyzna, przekształćmy nierówność 13

Przypatrzmy się obu zbiorom na jednym rysunku.

15

Widać, że jeżeli punkt reprezentujący parę liczb 68 leży na okręgu, to jednocześnie jest punktem półpłaszczyzny. Czy to wszystko? Niestety nie. To dopiero szkic rozwiązania, pomysł na to, jak udowodnimy implikację podaną w zadaniu. Musimy mieć pewność, że krawędź półpłaszczyzny jest prostą styczną do okręgu. W tym celu wykorzystamy wzór na odległość punktu od prostej, gdyż prosta jest styczna do okręgu, jeżeli jej odległość od środka okręgu jest równa promieniowi. Prosta ma wzór 66 okrąg ma środek w punkcie 67 i promień równy 16. Obliczmy odległość prostej od początku układu współrzędnych. Wykorzystujemy wzór: równanie gdzie 17 oznacza szukaną odległość punktu 19 od prostej o równaniu 20 w naszym przypadku 21 zatem 22 Zatem odległość krawędzi półpłaszczyzny jest równa promieniowi okręgu, więc krawędź ta jest styczna do okręgu. Możemy więc pokazać egzaminatorowi nasze rozumowanie:
Dowolne dodatnie liczby rzeczywiste 68, takie, że 11 są reprezentowane przez punkt na okręgu o środku w początku układu współrzędnych i promieniu równym 16. Każdy punkt okręgu jest jednocześnie punktem półpłaszczyzny 12 , a zatem zachodzi wynikanie, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y, takich, że 11 prawdziwa jest nierówność 12 Jednocześnie widać, że równość zachodzi tylko w punkcie styczności, czyli dla pary 69.

 

Zadanie 9

Dany jest prostokąt 42 Okrąg wpisany w trójkąt 42 jest styczny do przekątnej 44 w punkcie 45 Okrąg wpisany w trójkąt 46 jest styczny do boku 47 w punkcie 48 a środek 40 tego okręgu leży na odcinku 49 jak na rysunku.
24

Wykaż, że 42

Zauważmy, że każdy z odcinków w tezie zadania jest w naturalny sposób sumą dwóch innych: 36 a 37. Zauważmy też, że 38 ponieważ są długościami promienia okręgu o środku 40 Widać więc, że wystarczy udowodnić, że 39 Warto teraz przyjrzeć się wnikliwiej rysunkowi. Prosta styczna do okręgu jest prostopadła do promienia wystawionego w punkcie styczności, zatem odcinek 25jest równoległy do odcinków 25i 27 a co za tym idzie 41 W tego typu zadaniach geometrycznych najczęściej wystarczy znaleźć trójkąty przystające lub podobne i skorzystać z ich własności. Jedyną trudnością jest to, że często tych trójkątów nie widać od razu. W naszym przypadku należy dorysować dwa odcinki:
28

Odcinek 29jest promieniem okręgu i jest prostopadły do odcinka 30 a odcinek 35jest prostopadły do odcinka 31 Powstałe w ten sposób trójkąty 50i 51 są trójkątami prostokątnymi o takim samym kącie ostrym 41 Są więc podobne. Co więcej, 52 ponieważ są promieniami tego samego okręgu o środku w punkcie 40, mają więc tę samą długość . A zatem trójkąt 50 jest trójkątem przystającym do trójkąta 51 Z tego wynika, że przeciwprostokątna 53 w trójkącie 50 jest tej samej długości co przeciwprostokątna 54 w trójkącie 51. Warto jeszcze zauważyć, że odcinki 33(gdzie 55 jest punktem styczności okręgu o środku 56) są równej długości (dwa odcinki stycznych wystawionych z tego samego punktu 57). Prostokąt 58 jest (jak każdy równoległobok) figurą środkowo-symetryczną, zatem 34 Ponadto 59 Z powyższych wniosków wynika, że 39 Jeśli dodać do tego, że 60, to mamy tezę naszego zadania: 61

 

Zadanie 14

Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w których zapisie mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15 360.
To typowe zadanie kombinatoryczne, a polecenie ma chyba dać uczniom do myślenia. Moim zdaniem, to zadanie byłoby trudniejsze, gdyby polecenie brzmiało: „Oblicz, ile jest takich liczb”. W wersji podanej uczeń łatwo zorientuje się, gdy się pomyli w obliczeniach.
Obliczenie ile jest liczb danych w zadaniu zaczniemy od ustawienia jedynek. Musimy trzy jedynki umieścić we właściwych miejscach w liczbie dziesięciocyfrowej. Wybieramy trzy spośród dziesięciu miejsc na 62 sposobów. Następnie w każdym z siedmiu pozostałych miejsc umieszczamy dwójkę lub trójkę. Wszystkich takich ustawień jest 63 Każdemu z ustawień jedynek odpowiada każde ustawienie dwójek lub trójek. Dlatego liczba wszystkich takich liczb jest równa 64 Wtedy 65 Tego właśnie należało dowieść.

Rozwiąż bezpłatny test
Serwis używa cookies!

Kontynuując zgadzasz się na naszą politykę prywatności.

OK, zgadzam się
OK, zgadzam się
arrow-long-left
Sprawdź się na bezpłatnym teście! Rozwiąż bezpłatny placement test, a my sprawdzimy Twój poziom z języka obcego. Zainwestuj 15 minut i sprawdź się. Gdy pytania staną się zbyt trudne, zakończ test. Jeśli nie znasz odpowiedzi – nie odpowiadaj. Niezależnie od tego otrzymasz wynik końcowy. Skontaktujemy się z Tobą w celu dokładnego omówienia wyników testu i podpowiemy Ci, który z naszych kursów jest najbardziej optymalny do poziomu Twojej wiedzy.

Zapomniałeś hasło?

Wypróbuj wersję demo

Wersja demo

Załóż konto